eukl. Norm ableiten ||AB||² < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Es geht um zwei Matritzen A (100 x 100) und B (100 x 1).
ich muss den Ausdruck [mm] ||A*B||^2 [/mm] nach B ableiten (das "^2 steht dabei für die euklidische Norm der Matrix). Ich habe schon viel herumgerechnet und bin zum Schluss gekommen, dass als Ableitung
[mm] f' = 1/(2 * \wurzel{\summe_{j=1}^{100} [\summe_{i=1}^{100}(a_{j,i} * b_{i,1})]^2} ) * 2 * (A * B)^t * \summe_{i=1}^{100}a_{j,i} [/mm]
herauskommen könnte. Ich bin mir aber nicht sicher und ich weiß vor allem nicht, wie ich das verifizieren könnte.
Ich wäre deshalb für Meinungen, Vorschläge oder Korrekturen sehr dankbar.
Meine Vorhergehensweise:
[mm] f(x) = ||AB||^2 = \wurzel{\summe_{j=1}^{100} [\summe_{i=1}^{100}(a_{j,i} * b_{i,1})]^2} [/mm]
mittels Kettenregel müsste man das ganze ja dann folgendermaßen ableiten können...
zunächst habe ich die wurzel vernachlässigt um nur 1x die Kettenregel anwenden zu müssen, also :
[mm] f(x) = u(v(x)) = \summe_{j=1}^{100} [\summe_{i=1}^{100}(a_{j,i} * b_{i,1})]^2 [/mm]
[mm] f'(B) = u'(v(x)) * v'(x) [/mm]
[mm] u(B)= \summe_{j=1}^{100} (v^2) [/mm]
[mm] v(B) = \summe_{i=1}^{100}(a_{j,i} * b_{i,1}) [/mm]
[mm] u'(B)= \summe(2*v) [/mm]
[mm] v'(B) = \summe_{i=1}^{100}a_{j,i} [/mm]
[mm] f'(B) = \summe_{j=1}^{100} [2*\summe_{i=1}^{100}(a_{j,i} * b_{i,1}) * \summe_{i=1}^{100}a_{j,i}] = 2 * (A*B)^t * \summe_{i} \summe_{j} a_{i,j} [/mm]
Wenn ich jetzt die Wurzel vorweg noch berücksichtige, wird das oben erechnete f'(B) zum v'(B)!
[mm]u(B) = 1/2 * v^{-1/2}[/mm]
[mm]v(B) = 2 * (A*B)^t * [/mm]
[mm]u'(B) = 1/2 * v^{-1/2}[/mm]
[mm] v'(B) = 2 * (A*B)^t * \summe_{i} \summe_{j} a_{i,j} [/mm]
[mm] f'(B) = 1/(2 * \wurzel{\summe_{j=1}^{100} [\summe_{i=1}^{100}(a_{j,i} * b_{i,1})]^2} ) * 2 * (A * B)^t * \summe_{i=1}^{100}a_{j,i} [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 03.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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